DERIVAT

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A investigação tem como base uma técnica única que inclui os mais recentes resultados na descrição analítica de soluções não convencionais das equações de derivadas parciais (EDPs) do tipo hiperbólico, em particular, a equação de onda.

Esta técnica refere-se ao problema não homogéneo de condições iniciais e condições de contorno, ou seja:  

A EDP hiperbólica, que descreve o movimento da onda (no caso mais simples, a equação de onda escalar) e tem um lado direito conhecido (fonte de onda), está tratada em conjunto com as condições iniciais e de limite conhecidas, as quais são fornecidas pelo modelo, permitindo assim, retratar corretamente as frentes de onda e os processos transitórios. 

 

A técnica compreende as seguintes fases:  

 

(Aplica-se apenas para Eletromagnetismo) O sistema de equações de Maxwell é reduzido a uma EDP de grau 2, para os componentes de campo eletromagnético ou potenciais, ou para os seus derivados. 

As variáveis espaciais são separadas através de expansões convenientes em série e/ou com recurso a transformações integrais, exceto uma que permanece ligada com a variável de tempo, resultando numa EDP hiperbólica. 

A EDP hiperbólica e as condições iniciais e de contorno, quando transformadas, formam um problema, o qual é solucionado com a fórmula de Riemann-Volterra. Nesta fórmula, o domínio geral triangular de integração (em espaço 2D "coordenada não separada""tempo") passa a ser um domínio efetivo mais complicado, mas menor, onde o integrando é essencialmente diferente de zero. Os limites deste domínio efetivo de integração são definidos através de um processo estritamente formalizado, o qual inclui diagramas triangulares específicos de espaço-tempo (DTET).

Na maioria dos casos, as soluções obtidas, sendo multiplicadas por funções conhecidas das variáveis anteriormente separadas, resultam em expressões com um significado claro em Física (modos não estacionais). Em muitos casos, no entanto, as soluções mais explícitas podem ser obtidas somando as expansões ou fazendo a transformação integral inversa.

 

Dado que a fórmula de Riemann-Volterra envolve a integração através de um domínio inequivocamente definido e finito no espaço-tempo, a fórmula resulta sempre numa única função de onda fisicamente admissível (isto é, suporte-finito e energia-finito). No caso de uma solução modal, tal propriedade é automaticamente atribuída a cada modo; portanto, descartar modos mais elevados nunca leva a mudanças drásticas na função de onda na estrutura espaço-tempo. A causalidade de solução é fornecida por axiomáticos mínimos, invocados apenas na fase inicial - formulação do problema, através de condições iniciais homogéneas, assimétricas em relação de tempo e impostas sobre a função de onda e a fonte. Normalmente, admite-se a existência de um momento (tido como t = 0), antes do qual nem a fonte nem a onda emanada poderão existir.   

Tendo em conta as suas propriedades únicas, a técnica de Riemann-Volterra e DTET pode resolver, com êxito, vários problemas de geração e propagação de impulsos quer em sistemas de guia de onda, quer em espaço livre, especialmente naqueles que abarcam uma fonte complexa, da forma distribuída e essencialmente não-sinusoidal, o que impede a uso dos métodos baseados em domínio da frequência ou na função de Green. Tal, pode levar a melhorias significativas na área de impulsos ultracurtos e na geração de ondas localizadas, entre outros.  

 

Resultados

 

 Identificação de cenários prospetivos para a geração de ondas localizadas e especificação das respetivas fontes realizáveis.

Prova de existência de uma onda "cortada" de energia finita, contraparte do famoso modo de onda de foco transversal elétrico de Brittingham (Brittingham's transverse-electric focus wave mode) de ordem zero.

Descoberta de um novo tipo de ondas localizadas - ondas em forma de gota estendendo a pesquisa pioneira de Recami et al. [Phys. Rev. E. 69, 027.602] sobre o campo eletromagnético de um tachyon carregado, para modelos mais realistas de impulsos de corrente linear, criados num momento fixo do tempo. Estas correntes geram ondas eletromagnéticas de suporte em forma de gota, as quais possuem elevadas propriedades de localização, devido ao efeito de "boom eletromagnético" e são análogos a ondas localizadas em forma de X, que possuem casualidade e suporte finito. Tal como no caso anterior, foi desenvolvido um modelo fisicamente viável e causal (embora ainda simplificado) de lançamento deste tipo de "onda em forma de X" que é cortada por um impulso de corrente cuja frente se propaga com a velocidade superluminal. Na sua condição limite (fonte de forma de delta-impulso e tempo tendendo a infinito), o resultado coincide com a teoria de Recami, tal como esperado.

 

Os resultados são relatados em 2011, em [arXiv: 1110,3494] e, de forma mais completa, em 2012 [Utkin AB Droplet-shaped waves: casual finite-support analogs of X-shaped waves. J. Opt. Soc. Am. A, v. 29(4), p. 457-462, 2012, doi:10.1364/JOSAA.29.000457]. A versão completa do trabalho de investigação foi publicada como um capítulo de livro [Utkin A.B. Localized Waves Emanated by Pulsed Sources: The Riemann-Volterra Approach. Ch. 13 in: Non-Diffracting Waves. Wiley-VCH: Berlin, ISBN 978-3-527-41195-5, p. 287-306, 2013].

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